Em álgebra, o lema de Zariski, provado por Oscar Zariski (1947), afirma que, se um corpo K é finitamente gerado como uma álgebra associativa sobre outro corpo k, então K é uma extensão de corpos finita de k; ou seja, K é finitamente gerado como um módulo (em outras palavras, K é um espaço vetorial de dimensão finita) sobre k. Uma aplicação importante do lema é uma demonstração da forma fraca do teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz): se I é um ideal próprio de
k [
t
1
, ... ,
t
n
]
{\displaystyle k[t_{1},\dots ,t_{n}]}
(sendo k um corpo algebricamente fechado), então I tem um zero; isto é, existe um ponto x em
k
n
{\displaystyle k^{n}}
tal que
f ( x ) = 0
{\displaystyle f(x)=0}
para todo f em I. (Demonstração: substituindo I por um ideal maximal
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
, podemos assumir que
I =
m
{\displaystyle I={\mathfrak {m}}}
é maximal. Seja
A = k [
t
1
, ... ,
t
n
]
{\displaystyle A=k[t_{1},\dots ,t_{n}]}
e
φ : A → A
/
m
{\displaystyle \phi :A\to A/{\mathfrak {m}}}
a sobrejeção natural. Pelo lema,
A
/
m
{\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}
é uma extensão finita. Como k é algebricamente fechado, essa extensão deve ser k. Então, para qualquer
f ∈
m
{\displaystyle f\in {\mathfrak {m}}}
,
f ( φ (
t
1
) , ... , φ (
t
n
) ) = φ ( f (
t
1
, ... ,
t
n
) ) = 0
{\displaystyle f(\phi (t_{1}),\dots ,\phi (t_{n}))=\phi (f(t_{1},\dots ,t_{n}))=0}
; ou seja,
x = ( φ (
t
1
) , ... , φ (
t
n
) )
{\displaystyle x=(\phi (t_{1}),\dots ,\phi (t_{n}))}
é um zero de
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
.) O lema também pode ser entendido a partir da seguinte perspectiva. Em geral, um anel R é um anel de Jacobson se e somente se toda R-álgebra finitamente gerada que é um corpo é finita sobre R. Assim, o lema decorre do fato de que um corpo é um anel de Jacobson.
Demonstrações Duas demonstrações diretas são dadas em Atiyah–MacDonald; uma é devida a Zariski e a outra usa o lema de Artin-Tate. Para a demonstração original de Zariski, veja o artigo original. Outra demonstração direta na linguagem dos anéis de Jacobson é dada abaixo. O lema também é uma consequência do lema de normalização de Noether. De fato, pelo lema de normalização, K é um módulo finito sobre o anel de polinômios
k [
x
1
, ... ,
x
d
]
{\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{d}]}
onde
x
1
, ... ,
x
d
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}
são elementos de K que são algebricamente independentes sobre k. Mas, como K tem dimensão de Krull zero e como uma extensão inteira de anéis (por exemplo, uma extensão finita de anéis) preserva as dimensões de Krull, o anel de polinômios deve ter dimensão zero; ou seja,
d = 0
{\displaystyle d=0}
. A seguinte caracterização de um anel de Jacobson contém o lema de Zariski como um caso especial. Lembre-se de que um anel é um anel de Jacobson se todo ideal primo for uma interseção de ideais maximais. (Quando A é um corpo, A é um anel de Jacobson e o teorema abaixo é precisamente o lema de Zariski.)
Demonstração: 2.
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
1.: Seja
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
um ideal primo de A e defina
B = A
/
p
{\displaystyle B=A/{\mathfrak {p}}}
. Precisamos mostrar que o radical de Jacobson de B é zero. Para esse fim, seja f um elemento não nulo de B. Seja
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
um ideal maximal da localização
B [
f
− 1
]
{\displaystyle B[f^{-1}]}
. Então
B [
f
− 1
]
/
m
{\displaystyle B[f^{-1}]/{\mathfrak {m}}}
é um corpo que é uma A-álgebra finitamente gerada e, portanto, é finito sobre A por hipótese; logo, é finito sobre
B = A
/
p
{\displaystyle B=A/{\mathfrak {p}}}
e, assim, é finito sobre o subanel
B
/
q
{\displaystyle B/{\mathfrak {q}}}
, onde
q
=
m
∩ B
{\displaystyle {\mathfrak {q}}={\mathfrak {m}}\cap B}
. Pela integridade,
q
{\displaystyle {\mathfrak {q}}}
é um ideal maximal que não contém f. 1.
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
2.: Como um anel quociente de um anel de Jacobson é de Jacobson, podemos assumir que B contém A como um subanel. Então a afirmação é consequência do seguinte fato algébrico:
(*) Sejam
B ⊇ A
{\displaystyle B\supseteq A}
domínios de integridade tais que B é finitamente gerado como uma A-álgebra. Então existe um a não nulo em A tal que todo homomorfismo de anéis
φ : A → K
{\displaystyle \phi :A\to K}
, sendo K um corpo algebricamente fechado, com
φ ( a ) ≠ 0
{\displaystyle \phi (a)\neq 0}
se estende para
φ ~
: B → K
{\displaystyle {\widetilde {\phi }}:B\to K}
. De fato, escolha um ideal maximal
m
{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
de A que não contenha a. Escrevendo K para algum fecho algébrico de
A
/
m
{\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}
, o mapa canônico
φ : A → A
/
m
↪ K
{\displaystyle \phi :A\to A/{\mathfrak {m}}\hookrightarrow K}
se estende para
φ ~
: B → K
{\displaystyle {\widetilde {\phi }}:B\to K}
. Como B é um corpo,
φ ~
{\displaystyle {\widetilde {\phi }}}
é injetivo e, portanto, B é algébrico (assim, algébrico finito) sobre
A
/
m
{\displaystyle A/{\mathfrak {m}}}
. Vamos agora provar (*). Se B contém um elemento que é transcendente sobre A, então ele contém um anel de polinômios sobre A para o qual φ se estende (sem uma exigência sobre a) e, portanto, podemos assumir que B é algébrico sobre A (pelo lema de Zorn, digamos). Sejam
x
1
, ... ,
x
r
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{r}}
os geradores de B como uma A-álgebra. Então cada
x
i
{\displaystyle x_{i}}
satisfaz a relação
a
i 0
x
i
n
+
a
i 1
x
i
n − 1
+ ⋯ +
a
i n
= 0 ,
a
i j
∈ A
{\displaystyle a_{i0}x_{i}^{n}+a_{i1}x_{i}^{n-1}+\dots +a_{in}=0,\quad a_{ij}\in A}
onde n depende de i e
a
i 0
≠ 0
{\displaystyle a_{i0}\neq 0}
. Defina
a =
a
10
a
20
...
a
r 0
{\displaystyle a=a_{10}a_{20}\dots a_{r0}}
. Então
B [
a
− 1
]
{\displaystyle B[a^{-1}]}
é inteiro sobre
A [
a
− 1
]
{\displaystyle A[a^{-1}]}
. Agora, dada
φ : A → K
{\displaystyle \phi :A\to K}
, nós a estendemos primeiro para
φ ~
: A [
a
− 1
] → K
{\displaystyle {\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to K}
definindo
φ ~
(
a
− 1
) = φ ( a
)
− 1
{\displaystyle {\widetilde {\phi }}(a^{-1})=\phi (a)^{-1}}
. Em seguida, seja
m
= ker
φ ~
{\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ker} {\widetilde {\phi }}}
. Pela integridade,
m
=
n
∩ A [
a
− 1
]
{\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {n}}\cap A[a^{-1}]}
para algum ideal maximal
n
{\displaystyle {\mathfrak {n}}}
de
B [
a
− 1
]
{\displaystyle B[a^{-1}]}
. Então
φ ~
: A [
a
− 1
] → A [
a
− 1
]
/
m
→ K
{\displaystyle {\widetilde {\phi }}:A[a^{-1}]\to A[a^{-1}]/{\mathfrak {m}}\to K}
se estende para
B [
a
− 1
] → B [
a
− 1
]
/
n
→ K
{\displaystyle B[a^{-1}]\to B[a^{-1}]/{\mathfrak {n}}\to K}
. Restrinja o último mapa a B para concluir a demonstração.
◻
{\displaystyle \square }
Referências
Bibliografia
