Na topologia, uma disciplina da matemática, um espaço de Urysohn, ou espaço

T

2

1 2

{\displaystyle T_{2{\frac {1}{2}}}}

, é um espaço topológico no qual quaisquer dois pontos distintos podem ser separados por vizinhanças fechadas. Um espaço completamente Hausdorff, ou espaço funcionalmente Hausdorff, é um espaço topológico no qual quaisquer dois pontos distintos podem ser separados por uma função contínua. Estas condições são axiomas de separação que são um pouco mais fortes do que o mais familiar axioma de Hausdorff

T

2

{\displaystyle T_{2}}

.

Definições Suponha que

X

{\displaystyle X}

seja um espaço topológico. Sejam

x

{\displaystyle x}

e

y

{\displaystyle y}

pontos em

X

{\displaystyle X}

.

Dizemos que

x

{\displaystyle x}

e

y

{\displaystyle y}

podem ser separados por vizinhanças fechadas se existir uma vizinhança fechada

U

{\displaystyle U}

de

x

{\displaystyle x}

e uma vizinhança fechada

V

{\displaystyle V}

de

y

{\displaystyle y}

tais que

U

{\displaystyle U}

e

V

{\displaystyle V}

sejam disjuntas (

U ∩ V = ∅

{\displaystyle U\cap V=\emptyset }

). (Note que uma "vizinhança fechada de

x

{\displaystyle x}

" é um conjunto fechado que contém um conjunto aberto contendo

x

{\displaystyle x}

.) Dizemos que

x

{\displaystyle x}

e

y

{\displaystyle y}

podem ser separados por uma função se existir uma função contínua

f : X → [ 0 , 1 ]

{\displaystyle f\colon X\to [0,1]}

(o intervalo unitário) com

f ( x ) = 0

{\displaystyle f(x)=0}

e

f ( y ) = 1

{\displaystyle f(y)=1}

. Um espaço de Urysohn, também chamado de espaço

T

2

1 2

{\displaystyle T_{2{\frac {1}{2}}}}

, é um espaço no qual quaisquer dois pontos distintos podem ser separados por vizinhanças fechadas. Um espaço completamente Hausdorff, ou espaço funcionalmente Hausdorff, é um espaço no qual quaisquer dois pontos distintos podem ser separados por uma função contínua.

Convenções de nomenclatura O estudo dos axiomas de separação é notório por conflitos com as convenções de nomenclatura utilizadas. As definições usadas neste artigo são aquelas dadas por Willard (1970) e são as definições mais modernas. Steen e Seebach (1970) e vários outros autores invertem a definição de espaços completamente Hausdorff e espaços de Urysohn. Os leitores de livros didáticos em topologia devem ter o cuidado de verificar as definições usadas pelo autor. Veja História dos axiomas de separação para mais informações sobre esta questão.

Relação com outros axiomas de separação Quaisquer dois pontos que podem ser separados por uma função podem ser separados por vizinhanças fechadas. Se eles podem ser separados por vizinhanças fechadas, então claramente eles podem ser separados por vizinhanças. Segue-se que todo espaço completamente Hausdorff é de Urysohn e todo espaço de Urysohn é de Hausdorff. Também é possível mostrar que todo espaço Hausdorff regular é de Urysohn e todo Espaço de Tychonoff (= espaço Hausdorff completamente regular) é completamente Hausdorff. Em resumo, temos as seguintes implicações:

É possível encontrar contraexemplos mostrando que nenhuma dessas implicações é reversível.

Exemplos A topologia de extensão coenumerável é a topologia na reta real gerada pela união da topologia euclidiana usual e da topologia coenumerável. Os conjuntos são abertos nesta topologia se e somente se forem da forma

U ∖ A

{\displaystyle U\setminus A}

onde

U

{\displaystyle U}

é aberto na topologia euclidiana e

A

{\displaystyle A}

é enumerável. Este espaço é completamente Hausdorff e de Urysohn, mas não é regular (e, portanto, não é de Tychonoff). Existem espaços que são Hausdorff, mas não são de Urysohn, e espaços que são de Urysohn, mas não são completamente Hausdorff ou Hausdorff regulares. Os exemplos não são triviais; para mais detalhes, veja Steen e Seebach.

Referências

Bibliografia Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology, ISBN 978-0-486-68735-3 reimpressão da Dover de 1978 ed. , Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 507446 Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reeditado por Dover Publications, Nova York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (edição Dover). Predefinição:Willard General Topology * «Completely Hausdorff». PlanetMath